Question

20．已知数列{a_n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a₃，$\frac{5}{3}$a₄，a₅成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，求证：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于公比q的方程组，求解得到q值，则等比数列的通项公式可求；
（2）把{a_n}的通项公式代入数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}，利用错位相减法求其和，可得S_n＜3．

解答 （1）解：由${a}_{3}+{a}_{5}=2×\frac{5}{3}{a}_{4}$，得${q}^{2}+{q}^{4}=\frac{10}{3}{q}^{3}$，
而q≠0，得3q²-10q+3=0，解得q=$\frac{1}{3}$或q=3．
∵数列{a_n}是首项为1的单调递增的等比数列，
∴q=3，则${a_n}={3^{n-1}}$；
（2）证明：由$\frac{2n-1}{{a}_{n}}=\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴${S_n}=1+\frac{3}{3}+\frac{5}{3^2}+\frac{7}{3^3}+…+\frac{2n-1}{{{3^{n-1}}}}$，①
∴$\frac{1}{3}{S_n}=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}+\frac{7}{3^4}+…+\frac{2n-1}{3^n}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{S_n}=1+2（{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}}）-\frac{2n-1}{3^n}$=$1+2×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
得${S_n}=3-\frac{n+1}{{{3^{n-1}}}}$＜3．
∴S_n＜3．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．