Question

11．在多项式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展开式中，含x²项的系数为（　　）

• A． -32
• B． 32
• C． -96
• D． 96

Answer 1

分析 化（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展开式中，利用通项公式求出展开式各项，得出符合条件的项，
即可求出多项式展开式中含x²项的系数．

解答 解：（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展开式中，通项公式为
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•${（3\sqrt{x}）}^{4-r}$•${（-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{r}$=3^4-r•（-2）^r•${C}_{4}^{r}$•${x}^{2-\frac{5r}{6}}$；
令r=0，其展开式中是x²，不合题意；
令r=1，其展开式中是${x}^{\frac{1}{6}}$，不合题意；
令r=2，其展开式中是${x}^{\frac{1}{3}}$，不合题意；
令r=3，其展开式中是${x}^{-\frac{1}{2}}$，符合题意，
且含x²项的系数为3•（-2）³•${C}_{4}^{3}$=-96；
令r=4，其展开式中是${x}^{-\frac{4}{3}}$，不合题意；
综上，多项式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展开式中，含x²项的系数为-96．
故选：C．

点评 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．