Question

19．已知直线ax+by-8=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²-2x-4y=0截得的弦长为2$\sqrt{5}$，则ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由圆的性质及点到直线的距离公式得圆心（1，2）在直线ax+by-8=0上，而a+2b=8，由此利用均值定理能求出ab的最大值．

解答 解：由圆x²+y²-2x-4y=0，得（x-1）²+（y-2）²=5，
∴圆心（1，2），半径r=$\sqrt{5}$，
直线ax+by-8=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²-2x-4y=0截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
∴圆心（1，2）在直线ax+by-8=0上，
∴a+2b=8，
∵a＞0，b＞0，
∴2ab≤（$\frac{a+2b}{2}$）²=16，即ab≤8，
∴当且仅当a=2b=4时，ab取最大值8．
故选：D．

点评 本题考查两数积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质、点到直线距离公式、均值定理的合理运用．