Question

11．设f（x）=$\frac{x}{2x+2}$（x＞0），计算观察以下格式：
f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），f₄（x）=f（f₃（x）），…
根据以上事实得到当n∈N^*时，f_n（1）=$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．

解答 解：由已知中设函数f（x）=$\frac{x}{2x+2}$（x＞0），观察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{2x+2}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{6x+4}$；
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{14x+8}$．
f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{30x+16}$
…
归纳可得：f_n（x）=$\frac{x}{（{2}^{n+1}-2）x+{2}^{n}}$，（n∈N^*）
∴f_n（1）=$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*），
故答案为$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．