Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+m，x＜0}\\{{x}^{2}-1，x≥0}\end{array}\right.$其中m＞0，若函数y=f（f（x））-1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 分类讨论，即可确定实数m的取值范围．

解答 解：1、当x＜0时，f（f（x）=（-x+m）²-1，图象为开口向上的抛物线的在y轴左侧的部分，顶点为（0，m²-1）
2、当0≤x＜1时，f（f（x）=-x²+1+m，图象为开口向下的抛物线在0≤x＜1之间的部分，顶点为（0，m+1）．根据题意m＞0，所以m+1＞1
3、当x≥1时，f（f（x）=（x²-1）²-1，图象为开口向上的抛物线在x=1右侧的部分，顶点为（1，-1）
根据题意，函数y=f（f（x）-1有3个不同的零点，即f（f（x）的图象与y=1有3个不同的交点．
根据以上分析的3种情况，第2及第3种情况的图象分别与y=1有不同的2个交点，所以只需要第1种情况与y=1有1个交点即可，所以只要m²-1＜1即可，解得m＜$\sqrt{2}$．再根据题意m＞0可得m的取值范围为（0，$\sqrt{2}$）
故答案为（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查函数的零点，考查分段函数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．