Question

13．如图，在三棱锥C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．
（1）求AN的长；
（2）求锐二面角P-NC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，设N（0，t，0）．由$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{BA}$=0，解得t，即可得出AN．
（2）设平面MNC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，平面ANC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，
以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意知：A（0，3，0），B（0，-3，0），
P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-$\frac{3}{2}$，2），N（0，t，0）．
$\overrightarrow{NM}$=$（2，-\frac{3}{2}-t，2）$，$\overrightarrow{BA}$=（0，6，0）．
∵$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{BA}$=$6（-\frac{3}{2}-t）$=0，解得t=-$\frac{3}{2}$，
∴AN=3-$（-\frac{3}{2}）$=$\frac{9}{2}$．
（2）N$（0，-\frac{3}{2}，0）$，∴$\overrightarrow{NC}$=$（0，-\frac{3}{2}，4）$，$\overrightarrow{NM}$=（2，0，2），
设平面MNC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}y+4z=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，则取$\overrightarrow{n}$=（-3，8，3），
平面ANC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{9+64+9}×1}$=-$\frac{3\sqrt{82}}{82}$．
∴锐二面角P-NC-A的余弦值为$\frac{3\sqrt{82}}{82}$．

点评 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．