Question

8．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x₁，x₂，则e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{{e}^{2}}$
• B． 2（ln2-1）
• C． $\frac{4}{{e}^{2}}$
• D． ln2-1

Answer 1

分析 求出f（f（x））的解析式，根据f（f（x））的函数图象判断x₁，x₂的范围和两根的关系，构造函数h（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$，求出h（x₁）的最大值即可．

解答 解：令g（x）=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵y=f（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）=f（f（x））在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
做出g（x）=f（f（x））的函数图象如图所示：

∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则x₁≤-1，x₂≥0，且f（x₁）=f（x₂），即x₁²=e${\;}^{{x}_{2}}$．
∴e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁²，
令h（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁²，则h′（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$（x₁²+2x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁•（x₁+2），
∴当x₁＜-2时，h′（x₁）＞0，当-2＜x₁＜-1时，h′（x₁）＜0，
∴h（x₁）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，-1）上单调递减，
∴当x₁=-2时，h（x₁）取得最大值h（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
故选C．

点评 本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．