Question

2．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{4π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{2}}]$上的最大值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：由图象可知T=4π，从而ω=$\frac{1}{2}$，
将（$\frac{π}{3}$，0），（0，-$\frac{3}{2}$）在函数图象上，$\left\{\begin{array}{l}{Asin（\frac{π}{6}+φ）=0}\\{Asinφ=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得：φ=-$\frac{π}{6}$，A=3，f（x）=3sin（$\frac{1}{2}x$-$\frac{π}{6}$），
可得：g（x）=3sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{4π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=3cos$\frac{1}{2}x$．
由x∈$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{2}}]$，可得：$\frac{1}{2}x$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
可得：3cos$\frac{1}{2}x$∈[-3，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．