Question

20．某超市经营一批产品，在市场销售中发现此产品在30天内的日销售量P（件）与日期t（1≤t≤30，t∈N⁺））之间满足P=kt+b，已知第5日的销售量为55件，第10日的销售量为50件．
（1）求第20日的销售量；                
（2）若销售单价Q（元/件）与t的关系式为$Q=\left\{\begin{array}{l}t+20，1≤t＜25\\ 80-t，25≤t≤30\end{array}\right.（t∈{N^+}）$，求日销售额y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据条件得到关于a，b的方程组解的求出k，b的值，得到函数P=-t+60，代值计算即可，
（2）由条件得到日销售额y的函数关系式，分段，根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）因为P=kt+b
所以$\left\{\begin{array}{l}55=5t+b\\ 50=10t+b\end{array}\right.$
得：k=-1，b=60即：P=-t+60
当t=20时，P=40
答：第20日的销售量为40件，
（2）$y=PQ=\left\{\begin{array}{l}（t+20）（-t+60），1≤t＜25\\（80-t）（-t+60），25≤t≤30\end{array}\right.（t∈{N^+}）$，
═$\left\{\begin{array}{l}-{t^2}+40t+120，1≤t＜25\\{t^2}-140t+480，25≤t≤30\end{array}\right.（t∈{N^+}）$，
当1≤t＜25时，y=-t²+40t+120=-（t-20）²+1600
即t=20时，y取得最大值1600，
当25≤t≤30时，y=t²-140t+480=（t-70）²-10
即t=25时，y取得最大值2395，
综上，当t=25时，日销售额y的最大值为2395元
答：日销售额y的最大值为2395元．

点评 本题考查了一次函数，二次函数的图象与性质，以及简单的作图能力，归纳猜想能力，是中档题．