Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≤0时，f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x．
①求x＞0时，f（x）的解析式；
②关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$a²-1有三个不同的根，求a的取值范围；
③是否存在正实数a，b（a≠b）当x∈[a，b]，g（x）=f（x）且g（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 ①利用函数奇偶性的性质即可求x＞0时，f（x）的解析式；
②作出函数f（x）的同学，利用函数与方程的关系进行转化即可求a的取值范围；
③由函数的值域先确定a的取值范围，判断函数的单调性建立方程进行求解即可．

解答 解：①若x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x，
∴当-x＜0时，f（-x）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x，
∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
则f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x＞0）；
②作出函数f（x）的图象如图：
当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$，
由图象知若方程f（x）=$\frac{1}{2}$a²-1有三个不同的根，
则-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$a²-1＜$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$a²＜$\frac{3}{2}$，
则1＜a²＜3，即0＜a＜$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$＜a＜-1，
即a的取值范围是0＜a＜$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$＜a＜-1；
③当x＞0时，g（x）=f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$，
则函数的对称轴为x=2，函数在（0，2）上为增函数，当x＞2时，函数为减函数，
∵g（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，
∴$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{2}$，即a≥2，此时函数在[a，b]上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{1}{a}}\\{g（b）=\frac{1}{b}}\end{array}\right.$，
即a，b是g（x）=$\frac{1}{x}$的两个根，
即-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{8}$（x-2）²=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{2x}$，
即x（x-2）²=4（x-2），
则（x-2）（x²-2x-4）=0，
即x=2或x²-2x-4=0，得x=1$+\sqrt{5}$或x=1-$\sqrt{5}$（舍），
此时a=2，b=1$+\sqrt{5}$．
故存在a=2，b=1$+\sqrt{5}$，使g（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，二次函数的应用以及函数与方程的关系，利用数形结合进行转化是解决本题的关键．综合性较强有一定的难度．