Question

①若f（x+1）=2x²+1，求f（x）．
②已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且 f（x+1）-f（x）=x+1，求f（x）．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：①中函数解析式结构简单，可以用配凑法求该函数解析式．
②中已知函数类型，可以用待定系数法求该函数解析式．

解答： 解：①f（x+1）=2x²+1=2（x+1）²-4（x+1）+3，
所以f（x）=2x²-4x+3．
②设二次函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax²+bx，
又∵f（x+1）-f（x）=x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=x+1
∴ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx=x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴2a=1，且a+b=1，
解得a=b=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x．

点评：本题考察函数解析式的求解，换元法是常用方法，配凑法本质是换元法，换元法在运用时要注意新元的范围．而已知函数类型时，可先设出函数解析式，进而根据已知构造方程，解出参数．