Question

已知双曲线C的渐近线为y=±

3

x且过点M（1，

2

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，进而得到

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解出即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y可化为关于x的一元二次方程，可得△＞0及其根与系数的关系；由

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，代入解出即可．

解答：解：（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解得

a2= 1 3 b2=1

，
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=ax+1 3x2-y2=1

，化为（3-a²）x²-2ax-2=0，（3-a²≠0）．
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4a²+8（3-a²）＞0，化为a²＜6．
∴x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

．（*）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴（1+a²）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+a2)

3-a2

+

2a2

3-a2

+1=0，
化为a²=1．满足△＞0．
∴a=±1．

点评：本题中考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为关于一个未知数的一元二次二次方程点到△＞0及其根与系数的关系、

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．