Question

已知双曲线C的渐近线为y=±

3

3

x且过点M（

6

，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．则

b a = 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，解出即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

y=kx+m x2-3y2=3

，化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由题意△＞0，化为m²+1＞3k²．（*），进而得到根与系数的关系，于是得到线段AB的中点M的坐标．由|AD|=|BD|，可得k_AB•k_MD=-1．
即k•

m+1-3k2

3km

=-1，化为4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，及3k²=4m+1≥0解出即可．

解答：解：（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
则

b a = 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，解得

a2=3 b2=1

．
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2-3y2=3

，化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由题意△＞0，化为m²+1＞3k²．（*）
∴x1+x2=

6km

1-3k2

，x1x2=

-3m2-3

1-3k2

．
设线段AB的中点为M（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y₀=kx₀+m=

3k2m

1-3k2

+m=

m

1-3k2

．
∴M(

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

).kMD=

m+1-3k2

3km

．
∵|AD|=|BD|，∴k_AB•k_MD=-1．
∴k•

m+1-3k2

3km

=-1，化为4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k²=4m+1≥0，解得m≥-

1

4

∴m的取值范围是[-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

点评：本题中考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题的一般解法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．