Question

已知A，B为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点，则△MFN面积的最小值是（　　）

• A、8
• B、9
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：先设P（s，t），由题设条件得两直线PA，PB的方程，与准线方程联立，解出M，N两点的坐标，用s，t表示出线段MN的长度，再由点P在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，用s表示出t，消去t，得到线段MN的长关于s的函数，又点F到准线的距离是3，由此MFN面积可表示为s的函数，由其形式知，可用判别式法求最小值

解答：解：设P（s，t），由题意直线PA的方程为

y

t

+

x-2

s+2

=1，即，直线PB的方程为

y

t

+

x+2

s-2

=1
由于椭圆

x2

4

+

y2

3

=1故a=2，b=

3

，c=1，故其右准线方程为x=

a2

c

=4，F（1，0），故F到准线的距离是3
∵直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（4，

6

s+2

t），N（4，

2

s-2

t）
故有|MN|=|

6

s+2

t-

2

s-2

t|=|

4t(s-4)

s2-4

|
∴S²=

1

4

×|MN|²×9=

9

4

×|

4t(s-4)

s2-4

|①
又P（s，t）在椭圆上，故有t2=3-

s2

4

 代入①整理得S²=27×

(4-s)2

4-s2

令M²=

(4-s)2

4-s2

得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥

3

或M≤-

3

（舍）
∴S²=27×

(4-s)2

4-s2

≥27×3
∴S≥9
故选B．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．解题的关键是根据意建立起面积关于坐标的函数，掌握用判别式法求值域也是本题的一个难点，解题时运算技巧很重要．本题运算量很大，要严谨，避免因运算失误导致解题失败．