Question

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（　　）

• A． 1：3π
• B． $\sqrt{3}：π$
• C． $1：3\sqrt{3}π$
• D． $1：\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的正方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的体积之比．

解答 解根据三视图可知几何体是一个三棱柱A′B′D′-ABD，如图：
底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2、高为2，
∴几何体的体积V=sh=$\frac{1}{2}×2×2×2$=4，
由图得，三棱柱A′B′D′-ABD与正方体A′B′C′D′-ABCD的外接球相同，且正方体的棱长为2，
∴外接球的半径R=$\frac{\sqrt{3×{2}^{2}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
则外接球的体积V′=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$4\sqrt{3}π$，
∴该几何体的体积与其外接球的体积之比为$\frac{V}{V′}$=$\frac{1}{\sqrt{3}π}$，
故选：D．

点评 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．