Question

17．设函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2-e）求a的值；（e为自然对数的底数，e=2.781828…）；
（2）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当1＜x＜2时，证明：$\frac{2}{x-1}＞\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（2-x）}$．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；
（2）求导数，构造辅助函数g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，求导，令g′（x）=0，求得g（x）的最小值，判断f′（x）≥0，可判断函数的单调性；
（3）由（2）知f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x-1），即$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$利用函数的单调性，求得-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，根据对数函数的运算即可证明不等式成．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，x∈（0，+∞）
由题意可知：$\frac{f（e）-f（2-e）}{e-0}$=f′（e），
整理得：e+1-a（e-1）-（2-e）=e（1+$\frac{1}{e}$+1-a），解得a=2；
（2））f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，记g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，x=1，
∴g（x）_min=g（1）=2-a，
∵a≤2，
∴2-a≥0，
∴g（x）≥g（1）=0，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的定义域上为增函数；
（3）证明：由（2）知当a=2时，f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1），
∴$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$，①
∵1＜x＜2，
∴0＜2-a＜1，$\frac{1}{2-x}＞1$，
∴$\frac{1}{ln\frac{1}{2-x}}$＜$\frac{\frac{1}{2-x}+1}{2（\frac{1}{2-x}-1）}$=$\frac{3-x}{2（x-1）}$，
即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，②
①+②得：$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$+$\frac{3-x}{2（x-1）}$=$\frac{2}{x-1}$
∴原式成立．

点评 本题考查运用导数思想求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．