Question

2．已知点P为抛物线C：y²=4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d₁，点P到圆x²+y²+4x+8y+16=0上的点的距为d₂，则d₁+d₂的最小值为3．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设PK⊥准线l，垂足为K，由抛物线的定义可得|PF|=|PK|，求得圆的圆心和半径，连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值，运用两点的距离公式计算即可得到所求最小值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1，
设PK⊥准线l，垂足为K，
由抛物线的定义可得|PF|=|PK|，
圆x²+y²+4x+8y+16=0的圆心为M（-2，-4），半径为r=2，
连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值．
可得d₁+d₂的最小值为
|FM|-r=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0+4）^{2}}$-2=3．
故答案为：3．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要是定义的运用，同时考查圆的性质，以及三点共线，取得最小值，考查运算能力，属于中档题．