Question

12．下列命题中错误的是（　　）

• A． 存在定义在[-1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立
• B． 存在定义在[-1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立
• C． 存在定义在[-1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立
• D． 存在定义在[-1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立

Answer 1

分析 利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：令x=cosy∈[-1，1]，
则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x²-1成立，故A成立．
令t=siny∈[-1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，
即f（x）=2•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，显然一个x对应了2个y值，不是函数，故B错误．
对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos³y-3cosy 成立，即f（x）=4x³-3x成立，故C成立．
则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny-4sin³y 成立，即f（t）=3t-4t³成立，故D成立，
故选：B．

点评 本题主要考查二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，属于中档题．