Question

13．已知函数f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-x-2，
①当a=1时，若1＜x≤e，g（x）≤m恒成立，求m的取值范围
②若g（x）有且仅有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，求出f′（x），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程；
（Ⅱ）①问题转化为求出g（x）_max≤m，通过判断g′（x）的符号，得到g（x）在（1，e]上单调递增，求出g（x）的最大值，从而求出m的范围；②构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，
∴f′（x）=（2x-2）lnx+（x²-2x）$\frac{1}{x}$-2x，
k=f′（1）=0+（1-2）-2=-3，
f（1）=1，
切线的方程为y-1=-3（x-1），
∴切线的方程为3x+y-4=0．
（II）①当a=1时，g（x）=（x²-2x）lnx+x²-x，
若1＜x≤e，g（x）≤m，
只需：g（x）_max≤m，g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
∵1＜x≤e，∴g′（x）＞0成立，
∴g（x）在（1，e]上单调递增，
则g（x）_max=g（e）=2e²-3e，
∴m≥2e²-3e；
②由g（x）=f（x）-x-2=0，得（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，设h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
则h′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{2}}$，
令t（x）=1-x-2lnx，
则t′（x）=$\frac{-x-2}{x}$，
∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是减函数，t（1）=h'（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）的最大值为h（1）=1，
∴若函数g（x）有且仅有一个零点时，a=1．

点评 本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系，考查学生的运算能力．