Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+b（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若-2≤a＜0，对任意x₁，x₂∈（0，2]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（1）=3，求出a，代入f（x）求出b即可；
（Ⅱ）根据x=1是极值点求出a，检验即可；
（Ⅲ）问题可化为$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，设$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b+\frac{m}{x}$，根据函数的单调性求出m的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b$，∴${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}$，…（2分）
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，f（1）=0，∴a=-2，$\frac{1}{2}+b=0$，∴a=-2，$b=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=1-a=0，∴a=1；     …（6分）
当a=1时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+b$，定义域为（0，+∞），${f^'}（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}=\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，a=1．…（8分）
（Ⅲ）因为-2≤a＜0，0＜x≤2，
所以${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}＞0$，故函数f（x）在（0，2]上单调递增，
不妨设0＜x₁≤x₂≤2，则$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤m|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，
可化为$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，…（10分）
设$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b+\frac{m}{x}$，则h（x₁）≥h（x₂）．
所以h（x）为（0，2]上的减函数，即${h^'}（x）=x-\frac{a}{x}-\frac{m}{x^2}≤0$在（0，2]上恒成立，
等价于x³-ax-m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x³-ax在（0，2]上恒成立，
又-2≤a＜0，所以ax≥-2x，所以x³-ax≤x³+2x，
而函数y=x³+2x在（0，2]上是增函数，
所以x³+2x≤12（当且仅当a=-2，x=2时等号成立）．
所以m≥12．即m的最小值为12．…（12分）

点评 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．