Question

9．已知函数f（x）=e^x-a（x+1）（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）＞a²-a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，根据导导函数和0的关系由此可得f（x）的单调性；
（Ⅱ）需要分类讨论，根据函数的单调求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）在R递增，
若a＞0，令f′（x）＞0，解得；x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增；
（2）若a＞0，只需f（lna）＞a²-a，即-alna＞a²-a，
即lna+a-1＜0，令g（a）=lna+a-1，
a＞0时，g（a）递增，又g（1）=0，则0＜a＜1；
若a＜0，则f（ln（-a））=-aln（-a）-2a，
f（ln（-a））-（a²-a）=-aln（-a）-a²-a=-a[ln（-a）+a+1]
∵ln（-a）+a+1≤0，∴-a[ln（-a）+a+1]≤0，
则f[ln（-a）]≤a²-a，不合题意，
综上，a的范围是（0，1）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性和最值，正确运用导数是关键，属于中档题．