Question

14．已知函数f（x）=x³-bx²+4x（b∈R）在x=2处取得极值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2bx+4，
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=12-4b+4=0，
解得：b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x³-4x²+4x，
f′（x）=（3x-2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴f（x）在[0，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，2）递减，在（2，4]递增，
而f（0）=0，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，f（2）=0，f（4）=16，
∴f（x）的最大值是16，最小值是0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．