Question

3．已知抛物线C：y²=6x的焦点为F，B为C的准线上一点，A为直线BF与C的一个交点，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，则点A到原点的距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设B（-$\frac{3}{2}$，m），A（s，t），运用向量共线的坐标表示，解方程可得A的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：y²=6x的焦点为F（$\frac{3}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{3}{2}$，
设B（-$\frac{3}{2}$，m），A（s，t），由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，可得-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=3（s-$\frac{3}{2}$），
解得s=$\frac{1}{2}$，t=±$\sqrt{3}$，
即有|OA|=$\sqrt{\frac{1}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查两点的距离公式的运用，考查抛物线的焦点和准线方程，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．