Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{{2-{a_n}}}（n∈{N^*}）$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用递推式依次计算a₂，a₃，a₄；
（2）先验证n=1猜想是否成立，假设n=k猜想成立，利用递推式得出a_k+1，判断是否符合猜想即可．

解答 解：（1）a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2-{a}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{1}{2-{a}_{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）猜想：a_n=$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*），
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$满足a_n=$\frac{n}{n+1}$，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{k}{k+1}$，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{k+1}{（k+1）+1}$．
∴当n=k+1时，猜想也成立．
由①②可知，对任意的n∈N^*，都有a_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明，需掌握数学归纳法证明的步骤，属于中档题．