Question

6．已知函数f（x）=$\frac{ax^2-2}{bx+c}$（a、b、c∈Z）是奇函数．
（1）若f（1）=1，f（2）-4＞0，求f（x）；
（2）若b=1，且f（x）＞1对任意的x∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（x）即可；
（2）问题转化为a＞$\frac{x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$对任意x∈（1，+∞）恒成立，令t=$\frac{1}{x}$，从而求出a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
即$\frac{2c（{ax}^{2}-2）}{（bx+c）（-bx+c）}$=0，∴c=0，
∴f（x）=$\frac{{ax}^{2}-2}{bx}$，又f（1）=$\frac{a-2}{b}$=1，∴b=a-2，
f（2）-4=$\frac{2a-1}{b}$-4＞0，
∴$\frac{2a-1}{a-2}$-4=$\frac{-2a+7}{a-2}$＞0，
∴2＜a＜$\frac{7}{2}$，∵a∈Z，∴a=3，b=1，
∴f（x）=$\frac{{3x}^{2}-2}{x}$；
（2）b=1时，由（1）得：f（x）=$\frac{{ax}^{2}-2}{x}$，
f（x）＞1恒成立即$\frac{{ax}^{2}-2}{x}$＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
即a＞$\frac{x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$对任意x∈（1，+∞）恒成立，
令t=$\frac{1}{x}$，∴t∈（0，1），
于是$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=2t²+t∈（0，3），
∴a≥3，a的最小值是3．

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．