Question

19．设函数f（x）=（1+x）²-4lnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数在闭区间上的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-x²-ax-1=（2-a）x-4lnx（x＞0），
g′（x）=$\frac{（2-a）（x-\frac{4}{2-a}）}{x}$，
∵0＜a＜2，∴2-a＞0，$\frac{4}{2-a}$＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{4}{2-a}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{4}{2-a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{4}{2-a}$）递减，在（$\frac{4}{2-a}$，+∞）递增；
①当0＜$\frac{4}{2-a}$＜3，即0＜a＜$\frac{2}{3}$时，g（x）在（0，$\frac{4}{2-a}$）递减，在（$\frac{4}{2-a}$，3）递增，
∴g_（x）min=g（$\frac{4}{2-a}$=4-4ln$\frac{4}{2-a}$，
②当$\frac{4}{2-a}$≥3，即$\frac{2}{3}$≤a＜2时，g（x）在[0，3]递减，
∴g（x）_min=g（3）=6-3a-4ln3，
综上，0＜a＜$\frac{2}{3}$时，g_（x）min=4-4ln$\frac{4}{2-a}$，$\frac{2}{3}$≤a＜2时，g（x）_min=6-3a-4ln3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．