Question

9．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=xlnx，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，则f（x）（　　）

• A． 有极大值，无极小值
• B． 有极小值，无极大值
• C． 既有极大值，又有极小值
• D． 既无极大值，也无极小值

Answer 1

分析 由xf′（x）-f（x）=xlnx，得到${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，求出$\frac{lnx}{x}$的原函数，得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，由f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，解出c的值，从而得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．

解答 解：∵xf′（x）-f（x）=xlnx，
∴$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，
而${[\frac{{（lnx）}^{2}}{2}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{（lnx）}^{2}}{2}$+c，
∴f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，
由f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，解得c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（1+lnx）²≥0，
f（x）在（0，+∞）单调递增，
故函数f（x）无极值，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，本题求出$\frac{lnx}{x}$的原函数，得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，求出f（x）的表达式是解题的关键，本题是一道中档题．