Question

4．已知F（x）=${∫}_{0}^{x}$（3t²+2at+b）dt，若函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，
（1）求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，F（x）+c≤c²-2恒成立时求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到0，2是方程3x²+2ax+b=0的根，代入方程解出a，b的值即可；
（2）求出F（x）在[0，1]的最小值，问题转化为F（1）+c≤c²-2，解出即可．

解答 解：（1）F（x）=${∫}_{0}^{x}$（3t²+2at+b）dt=x³+ax²+bx+c，F′（x）=3x²+2ax+b，
函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，
∴0，2是方程3x²+2ax+b=0的根，
把x=0，2代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{12+4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=0；
（2）由（1）得F（x）=x³-3x²+c，
F′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令F′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数F（x）在[0，1]递减，
∴F（x）_min=F（1）=c-2，
若x∈[0，1]，F（x）+c≤c²-2恒成立，
∴c-2+c≤c²-2，∴c²-2c≥0，
解得c≤0或c≥2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．