Question

12．已知函数f（x）=x³-ax²+1（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若当x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的方程，得到函数的单调区间即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出a的具体范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²+1，
f′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$）…2分
令f′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$ …3分
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	$\frac{23}{27}$	↗

∴单调递增区间为：（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞），单调递减区间为：（0，$\frac{2}{3}$）…5分
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，等价于f（x）在区间（0，+∞）上的最小值恒大于0，
f′（x）=3x（x-$\frac{2a}{3}$）…6分
若a≤0，则当x＞0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）（0，+∞）上递增，f（x）＞f（0）=1，不等式f（x）＞0恒成立；…7分
若a＞0，则当x＞$\frac{2a}{3}$时，f′（x）＞0，f（x）在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上递增；
当x∈（0，$\frac{2a}{3}$）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上递减；
当x=$\frac{2a}{3}$时，f′（x）=0，f（x）取得最小值f（$\frac{2a}{3}$），
令f（$\frac{2a}{3}$）＞0，即$\frac{{8a}^{3}}{27}$-$\frac{{4a}^{3}}{9}$+1＞0，解得：a＜$\frac{3\root{3}{2}}{2}$；…9分
所以a的取值范围为：（0，$\frac{3\root{3}{2}}{2}$）…10分．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．