Question

17．已知函数f（x）=x²+$\frac{2}{π}$sin$\frac{π}{2}$x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（m+2）x（x∈R）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）相切于点（2，g（2）），求m的值；
（2）若x₁=a，x₂=b是函数g（x）的两个极值点，且$\frac{b}{a}$≥4．
①求实数m的取值范围；
②求g（b）-g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），g′（2），得到关于m的方程组，无解，从而判断m不存在；
（2）①求出（m+2）²=（a+b）²=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+2，令t=$\frac{b}{a}$，则t∈[4，+∞），令ω（t）=t+$\frac{1}{t}$+2，通过求导判断ω（x）的范围，从而求出m的范围即可；
②求出g（b）-g（a）的表达式，通过换元以及函数的单调性问题，求出其范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x+cos$\frac{π}{2}$x，g′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（m+2），
f′（1）=2，g′（2）=$\frac{1}{2}$-m，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是：
y-（1+$\frac{2}{π}$）=2（x-1），即y=2x+$\frac{2}{π}$-1；
曲线y=g（x）在点（2，g（2））处的切线方程是：
y-（ln2-2m-2）=（$\frac{1}{2}$-m）x-2，即y=（$\frac{1}{2}$-m）x+ln2-3，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{1}{2}-m}\\{\frac{2}{π}-1=ln2-3}\end{array}\right.$，
故切线不可能重合，故m的值不存在；
（2）函数g（x）的定义域是（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（m+2）x+1}{x}$，
∴a，b是方程x²-（m+2）x+1=0的两个不相等的正根，且$\frac{b}{a}$≥4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m+2）}^{2}-4＞0①}\\{a+b=m+2＞0②}\\{ab=1}\end{array}\right.$，
①（m+2）²=（a+b）²=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+2，
令t=$\frac{b}{a}$，则t∈[4，+∞），
（m+2）²=t+$\frac{1}{t}$+2，
又ω（t）=t+$\frac{1}{t}$+2在[4，+∞）递增，
∴ω（t）≥ω（4）=$\frac{25}{4}$，
∴（m+2）²≥$\frac{25}{4}$③，
∴m的范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）；
②g（b）-g（a）
=ln$\frac{b}{a}$+$\frac{1}{2}$（b²-a²）-（m+2）（b-a）
=ln$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{2}$（b²-a²）
=ln$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$）
=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
令h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t∈[4，+∞），
h′（t）=-$\frac{{（t-1）}^{2}}{{2t}^{2}}$＜0，
∴h（t）≤h（4）=ln4-$\frac{15}{8}$，
∴g（b）-g（a）的最大值是ln4-$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．