Question

2．已知点P（2，1）在直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1上，且直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析 根据题意利用基本不等式求出当且仅当a=4、b=2时，△OAB面积为S=4达到最小值，由此即可得到直线l的方程的方程

解答 解：∵直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1过点M（2，1），且直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1，a＞0，b＞0．
∵1=$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$≥$2\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$，化简得ab≥8，当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$时，即a=4，b=2时，等号成立，
∴当a=4，b=2时，ab有最小值8，
此时△OAB面积为S=$\frac{1}{2}$ab=4达到最小值．
直线l的方程的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0．

点评 本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值等知识，属于中档题．