Question

2．M为抛物线y²=8x上一点，过点M作MN垂直该抛物线的准线于点N，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为$\frac{27}{2}$π．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），可得N（-2，n），由四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，即有k_MF+k_ON=0，运用直线的斜率公式，求得M，N的坐标，再由正弦定理计算可得半径R，即可得到所求圆的面积．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，
设M（m，n），可得N（-2，n），
由四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，
即有k_MF+k_ON=0，
即为$\frac{n}{m-2}$+$\frac{n}{-2}$=0，
解得m=4，n=±4$\sqrt{2}$，
可设M（4，4$\sqrt{2}$），N（-2，4$\sqrt{2}$），
可得sin∠NOF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
|NF|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得，$\frac{|NF|}{sin∠NOF}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=2R（R为圆的半径），
解得R=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，则该圆的面积为S=πR²=$\frac{27}{2}$π．
故答案为：$\frac{27}{2}$π．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查圆的内接四边形的性质：对角互补，正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．