Question

12．已知A（-2a，0），B（2a，0）（a＞0），|$\overrightarrow{AP}$|=2a，D为线段BP的中点．
（1）求点D的轨迹E的方程；
（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求点D的轨迹E的方程；
（2）设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y²-4aty-8a²=0，利用韦达定理，证明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即可得出结论．

解答 解：（1））设D（x，y），P（m，n）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2a+m}{2}\\ y=\frac{n}{2}\end{array}\right.$…（1分）
所以$\left\{\begin{array}{l}m=2x-2a\\ n=2y\end{array}\right.$…（2分）
又（m+2a）²+n²=4a²…（3分）
所以所求方程为x²+y²=a²…（4分）
（2）轨迹E与x轴正半轴的交点F（a，0）…（5分）
抛物线C的方程为y²=4ax…（6分）
设$M（\frac{y_1^2}{4a}，{y_1}）$，$N（\frac{y_2^2}{4a}，{y_2}）$，设直线MN的方程为x=ty+2a
联立得y²-4aty-8a²=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4at\\{y_1}{y_2}=-8{a^2}\end{array}\right.$…（8分）
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{y_1^2}{4a}•\frac{y_2^2}{4a}+{y_1}{y_2}=-4{a^2}＜0$…（10分）
所以坐标原点在以MN为直径的圆内…（12分）

点评 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用向量知识、韦达定理是关键．