Question

7．已知函数f（x）=ax²-2x-2lnx．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若F（x）=f（$\sqrt{x}$）+2lnx存在两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），证明：|F（x₁）+F（x₂）|≥$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求导数$f′（x）=2ax-2-\frac{2}{x}$，根据极值点的定义便有f′（x）=0，从而可求出a=2；
（2）先求出$F（x）=ax+lnx-2\sqrt{x}$，求导数$F′（x）=\frac{ax-\sqrt{x}+1}{x}$，依题意可得到$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}=\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{a}$，并得出$0＜a＜\frac{1}{4}$，这样即可得出$F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）=-2lna-\frac{1}{a}-2$，可设g（a）=$-2lna-\frac{1}{a}-2$，通过求导数，判断导数符号即可得出g（a）在$（0，\frac{1}{4}）$上单调递增，从而得出g（a）＜0．这样便可得出不等式$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$等价于$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$，并设h（a）=2alna+1+2a，通过导数便可求出g（a）在$（0，\frac{1}{4}）$上的最小值，从而证出$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$成立，从而得出要证明的结论成立．

解答 解：（1）$f′（x）=2ax-2-\frac{2}{x}$；
x=1是f（x）的极值点；
∴f′（1）=2a-2-2=0；
∴a=2；
（2）证明：$F（x）=f（\sqrt{x}）+2lnx$=$ax+lnx-2\sqrt{x}$；
∴$F′（x）=a+\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{ax-\sqrt{x}+1}{x}$，根据题意，x₁，x₂是方程F′（x）=0的两个不同实数根；
∴$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}=\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{a}$，且$0＜a＜\frac{1}{4}$；
∴F（x₁）+F（x₂）=a（x₁+x₂）+ln（x₁x₂）$-2（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）$
=$a[（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）^{2}-2\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}]+ln（{x}_{1}{x}_{2}）$$-2（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）$
=$-2lna-\frac{1}{a}-2$；
记g（a）=$-2lna-\frac{1}{a}-2$，$g′（a）=-\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1-2a}{{a}^{2}}$；
∵$0＜a＜\frac{1}{4}$；
∴g′（a）＞0；
∴g（a）在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，$g（a）＜g（\frac{1}{4}）=-2ln\frac{1}{4}-4-2＜0$；
∴欲证$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$等价于证$2lna+\frac{1}{a}+2≥\frac{{e}^{2}-2}{a{e}^{2}}$；
即证$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
记h（a）=2alna+1+2a，h′（a）=2（2+lna）=0，可得$a=\frac{1}{{e}^{2}}$；
∴$0＜a＜\frac{1}{{e}^{2}}$时，h′（a）＜0，$\frac{1}{{e}^{2}}＜a＜\frac{1}{4}$时，h′（a）＞0；
∴$a=\frac{1}{{e}^{2}}$时，h（a）取最小值$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
即$h（a）≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
即$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$成立；
∴$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$成立．

点评 考查函数极值点和极值的定义，根据导数求函数极值、最值的方法和过程，函数在极值点处的导数为0，以及函数单调性和函数导数符号的关系，韦达定理，一元二次方程根的个数和判别式的关系，不等式的性质．