Question

16．已知α、β∈（0，$\frac{π}{2}}$）且α＜β，若sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求：
①cosβ的值；
②tan$\frac{β}{2}$的值．

Answer 1

分析 ①根据α，β的范围计算cosα，sin（α-β），利用两角差的余弦公式计算．
②利用①的计算结果和半角公式进行解答．

解答 解：①∵α、β∈（0，$\frac{π}{2}}$）且α＜β，sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）=$\frac{33}{65}$；
②∵cosβ=$\frac{33}{65}$，sinβ=$\frac{56}{65}$，
∴tan$\frac{β}{2}$=$\frac{sinβ}{1+cosβ}$=$\frac{\frac{56}{65}}{1+\frac{33}{65}}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数的关系，属于中档题．