Question

10．函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+2f（x）＞0，则（　　）

• A． 4f（-2）＜f（-1）
• B． 4f（4）＜f（2）
• C． 4f（2）＞-f（-1）
• D． 3f（$\sqrt{3}$）＞4f（2）

Answer 1

分析 根据题目给出的条件2f（x）+xf′（x）＞0，想到构造函数g（x）=x²f（x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g（x）恒大于0，则有f（x）恒大于0，再利用函数的单调性，分别比较大小，即可得到答案．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵2f（x）+xf′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．
当x＜0时，g（x）＜0，所以函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
∴当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
当x≠0时，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0时，有2f（0）+0×f（0）＞0，所以f（0）＞0．
综上有f（x）恒大于0．
g（x）在（-∞，0）上为减函数．
∴g（-2）＞g（-1），即4f（-2）＞f（-1），故A错误；
g（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴g（4）＞g（2），即4f（4）＞f（2），故B错误；
∵f（x）恒大于0，
∴-f（-1）＜0，4f（2）＞0，
∴4f（2）＞-f（-1），故C正确；
对于D，g（x）在（0，+∞）上为增函数．
g（$\sqrt{3}$）＜g（2），即3f（$\sqrt{3}$）＜4f（2），故D正确．
故答案选：C．

点评 本题考查了构造函数法，考查利用函数的导函数判断函数的单调性，解答的关键是合理构造出函数，并会利用单调性比较大小，属于中档题．