Question

11．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y²=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x₁，y₁）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）
（1）若y₁=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；
（2）设B（x₂，y₂），AB：y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x₂-x₁，解方程即可得到所求定值．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
则|AF|=y₁，可得AF⊥x轴，
则x₁=$\frac{p}{2}$，即有d=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$=3，即p=3，
则抛物线的方程为y²=6x；
（2）证明：设B（x₂，y₂），AB：y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入抛物线的方程，可得
k²x²+p（k²-2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由△=p²（k²-2）²-k⁴p²＞0，即为k²＜1，
x₁=$\frac{-p（{k}^{2}-2）-2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{-p（{k}^{2}-2）+2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，
由d=2λp，可得x₁+$\frac{p}{2}$=2λp，
由$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，M（-$\frac{p}{2}$，0），
可得x₁+$\frac{p}{2}$=λ（x₂-x₁），
即有2p=x₂-x₁=$\frac{2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
解得k²=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故直线AB的斜率的平方为定值．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意定义法的运用，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．