Question

16．已知函数f（x）=x-$\frac{2a-1}{x}$-2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极值，求实数a的值；
（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出验证即可；（2）求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f（x）的单调性，从而判断f（x）的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=1+4（2a-1）-4a=0，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{3}{4}$时，f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-1）}{{2x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，
f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极值，
故a=$\frac{3}{4}$符合题意；
（2）f′（x）=1+$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（2a-1）]}{{x}^{2}}$，
当a≤1时，则2a-1≤1，
∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
函数f（x）递增，
∴f（x）≥f（1）=2（1-a）≥0．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．