Question

13．己知圆C与y轴相切，圆心在射线l₁：x-3y=0（x≥0）上，且被直线l₂：y=x截得的弦长为2$\sqrt{7}$．
（1）求此圆的方程．
（2）已知O（0，0），A（0，3），圆上是否存在点M，使得|MA|=2|MO|，若存在，指出有几个点M，并给出理由，若不存在点M，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆心C的坐标为（a，b），半径为r，根据圆心C在直线x-3y=0上，列出关于a与b的关系式，用b表示出a，同时根据圆C与y轴相切，得到圆的半径r=|a|，由直线y=x与圆相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可；
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交，即可得出结论．

解答 解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，（a≥0）
此时圆心坐标为（a，b），半径为r，
把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b，
又圆C与y轴相切，∴r=|a|，
∵圆心C到直线y=x的距离d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|b|，弦长的一半为$\sqrt{7}$，
∴根据勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此时圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C的标准方程为（x+3）²+（y+1）²=9（舍去）），
综上，圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：x²+（y-3）²=4（x²+y²），
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，圆心距$\sqrt{13}$满足3-2＜$\sqrt{13}$＜3+2
∴圆C与圆D的关系为相交，
∴圆上存在两个点M，使得|MA|=2|MO|．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两点间的距离公式、勾股定理、圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．