Question

5．如图，设过点N（1，0）的动直线l交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于A，B两点，且|AB|的最小值为1，椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数t，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$为常数？求实数t的值及该常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a-c=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）当直线l的斜率时，设直线l的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
由椭圆的第二定义可得：|NA|=a-ex₁=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，|NB|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂．于是$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=$\frac{1}{（a-e{x}_{1}）^{2}}$+$\frac{1}{（a-e{x}_{2}）^{2}}$+$\frac{t}{（a-e{x}_{1}）（a-e{x}_{2}）}$=$\frac{（2+t）{a}^{2}-ea（2+t）（{x}_{1}+{x}_{2}）+t{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+{e}^{2}（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{[{a}^{2}+{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-ea（{x}_{1}+{x}_{2}）]^{2}}$，分别计算分子与分母进而得出结论．当直线l的斜率不存在时，直接计算已知即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：a-c=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）①当直线l的斜率时，设直线l的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
由椭圆的第二定义可得：|NA|=a-ex₁=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，|NB|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂．
∴$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=$\frac{1}{（a-e{x}_{1}）^{2}}$+$\frac{1}{（a-e{x}_{2}）^{2}}$+$\frac{t}{（a-e{x}_{1}）（a-e{x}_{2}）}$=$\frac{（a-e{x}_{2}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}+t（a-e{x}_{1}）（a-e{x}_{2}）}{[（a-e{x}_{1}）（a-e{x}_{2}）]^{2}}$=$\frac{（2+t）{a}^{2}-ea（2+t）（{x}_{1}+{x}_{2}）+t{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+{e}^{2}（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{[{a}^{2}+{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-ea（{x}_{1}+{x}_{2}）]^{2}}$，
∴分母=$（4+\frac{3}{4}×\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}$=$（\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}$．
分子=4（2+t）+$\frac{3}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]$-$\sqrt{3}$（2+t）（x₁+x₂）+te²x₁x₂
=8+4t+$\frac{3}{4}×\frac{64×3{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{3t-6}{4}$×$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-$\sqrt{3}$（2+t）×$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{（4t+8）{k}^{4}+（5t+22）{k}^{2}+14+t}{（1+{k}^{2}）^{2}}$．
∴$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=$\frac{（4t+8）{k}^{4}+（5t+22）{k}^{2}+（14+t）}{（1+{k}^{2}）^{2}}$，
令4t+8=14+t=$\frac{1}{2}（5t+22）$，
解得t=2．
∴$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{2}{|NA||NB|}$=16．
②当直线l的斜率不存在时，直线l方程：x=$\sqrt{3}$，代入椭圆解得A$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$，B$（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$．|NA|=|NB|=$\frac{1}{2}$，则t=2时，$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=4+4+4t=16．
也满足定值16．
综上可得：存在实数t=2，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=16为常数．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的第二定义的应用、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．