Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且a_n+2=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$（n∈N^*），则如图中第10行所有数的和为2046．

Answer 1

分析 由${a_{n+2}}=\frac{{a_{n+1}^2}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$得，$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{a_{n+1}^{\;}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，两边取倒数得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{a_n^{\;}}}{{{a_{n+1}}}}+1$，利用等差数列的通项公式可得：$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=n+1$，由累乖法可得${a_n}=\frac{1}{n!}$，可得$\frac{{{a_i}{a_{n+1-i}}}}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{（n+1）!}{i!（n+1-i）!}=C_{n+1}^i$，即可得出．

解答 解：由${a_{n+2}}=\frac{{a_{n+1}^2}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$得，$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{a_{n+1}^{\;}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，
∴两边取倒数得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{a_n^{\;}}}{{{a_{n+1}}}}+1$，
∴数列$\{\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}\}$是以$\frac{a_1}{a_2}=2$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=n+1$，∴由累乘法可得${a_n}=\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{{{a_i}{a_{n+1-i}}}}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{（n+1）!}{i!（n+1-i）!}=C_{n+1}^i$
图中第10行所有数的和为$\frac{{{a_1}{a_{10}}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_2}{a_9}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_3}{a_8}}}{{{a_{11}}}}$+…+$\frac{{{a_8}{a_3}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_9}{a_2}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_{10}}{a_1}}}{{{a_{11}}}}$
=$C_{11}^1+C_{11}^2+C_{11}^3+…+C_{11}^8+C_{11}^9+C_{11}^{10}$=2¹¹-2=2046．
故答案为：2046．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、组合数的计算公式、“累乘法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．