Question

19．已知动点P在抛物线x²=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PH}$．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）点M（-4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x²=2y得出轨迹方程；
（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算k₁k₂化简即可．

解答 解：（1）设点Q（x，y），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PH}$，则点P（x，2y），
将点P（x，2y）代入x²=2y得x²=4y．
∴动点Q的轨迹E的方程为x²=4y．
（2）设过点N的直线方程为y=k（x-4）+5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得x²-4kx+16x-20=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．
∵${k_1}=\frac{{{y_1}-4}}{{{x_1}+4}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-4}}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{（k{x_1}-4k+1）（k{x_2}-4k+1）}}{{（{x_1}+4）（{x_2}+4）}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+（k-4{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}-8k+1}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}$
=$\frac{1-8k}{32k-4}=-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．