Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为4，双曲线x²-$\frac{y^2}{a}$=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -3
• D． 3

Answer 1

分析 利用抛物线的定义可得：1+$\frac{p}{2}$=4，解得p．把M（1，m）代入抛物线方程可得m．由双曲线x²-$\frac{y^2}{a}$=1，可得左顶点为A（-1，0）．取渐近线y=-$\frac{\sqrt{a}}{1}$x与AM垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：由题意可得：1+$\frac{p}{2}$=4，解得p=6．
∴抛物线方程为：y²=12x．
把M（1，m）代入抛物线方程可得：m²=12，解得m=$±2\sqrt{3}$．
由双曲线x²-$\frac{y^2}{a}$=1，可得左顶点为A（-1，0）．
不妨取M$（1，2\sqrt{3}）$，可得k_AM=$\frac{2\sqrt{3}}{1+1}$=$\sqrt{3}$，
∵渐近线y=-$\frac{\sqrt{a}}{1}$x与AM垂直，∴$-\sqrt{a}$×$\sqrt{3}$=-1，
解得a=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的定义标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．