Question

16．已知函数f（x）=alnx+x²-1
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）＞（a+1）lnx+ax-1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出f（1），f′（1），代入切线方程即可；（2）问题转化为a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立，令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x，（x＞0），
∴f′（1）=a+2，又f（1）=0，
∴切线方程是y=（a+2）（x-1），
即（a+2）x-y-a-2=0；
（2）由f（x）＞（a+1）lnx+ax-1得：ax＜x²-lnx，
∵x＞1，∴a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立，
令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+lnx-1}{x}$，
令h（x）=x²+lnx-1，则h′（x）=2x+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）递增，而h（1）=0，
∴x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）递增，
∴g（x）＞g（1）=1，
∴当a≤1时，a＜g（x）恒成立，
∴a的范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．