Question

8．（文）已知 F₁、F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，求双曲线的离心率．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，结合直角三角形的边长关系建立方程进行求解即可．

解答 解：由题意知，|AF₁|-|AF₂|=2a，
又|AF₁|=3|AF₂|，
∴|AF₁|=3a，|AF₂|=a，
$\begin{array}{l}∵∠F_1AF_2={90^0}\\∴{|{AF_1}|^2}+{|{AF_2}|^2}={|{F_1F_2}|^2}\end{array}$
即（3a）²+a²=2c²，
即5a²=2c²
∴$e=\frac{c}{a}═\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义和直角三角形的性质是解决本题的关键．