Question

【题目】a，b为正数，给出下列命题：
①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；
②若 ﹣ =1，则a﹣b＜1；
③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；
④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．
期中真命题的有 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，
所以a﹣b＜1，故①正确．
②中 ﹣ = =1，只需a﹣b=ab即可，
取a=2，b= 满足上式但a﹣b= ＞1，故②错；
③构造函数y=x﹣ex ， x＞0，y′=1﹣ex＜0，函数单调递减，
∵ea﹣eb=1，∴a＞b，
∴a﹣ea＜b﹣eb ，
∴a﹣b＜ea﹣eb=1，
故③正确；
④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．
故答案为：①③．
不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．