试题分析:(1)本题唯一的条件是
为奇函数,故其定义域关于原点对称,通过求函数的定义域可求得
,当然这时还要根据奇函数的定义验证
确实是奇函数;(2)要判断函数的单调性,可根据复合函数单调性的性质确定,然后再根据定义证明,而函数
为奇函数,故只要判断函数在区间
上的单调性即可,变形
为
可得
在
是递减,当然它在
上也是递减的,然后用单调性定义田加以证明;(3)
为奇函数,它的对称中心为
,
的图象是由
的图象平移过去的,因此对称中心也相应平移,即
对称中心为
,函数
的图象对称中心为
,则
有性质:
,因此本题是有
,即
.
试题解析:(1)因为函数为奇函数,所以定义域关于原点对称,由
,得
,所以
. 2分
这时
满足
,函数为奇函数,因此
4分
(2)函数为单调递减函数.
法一:用单调性定义证明;
法二:利用已有函数的单调性加以说明.
在
上单调递增,因此
单调递增,又
在
及
上单调递减,因此函数
在
及
上单调递减;
法三:函数定义域为
,说明函数在
上单调递减,因为函数为奇函数,因此函数在
上也是单调递减,因此函数
在
及
上单调递减.
10分
(本题根据具体情况对照给分)
(3)因为函数
为奇函数,因此其图像关于坐标原点(0,0)对称,根据条件得到函数
的一个对称中心为
, 13分
因此有
,因为
,因此
16分