Question

13．已知点G是△ABC的重心，∠BAC=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=2，则|$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AG}$$+\overrightarrow{AC}$|的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根据G为重心便可得到$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，并根据条件可以得到AB•AC=4，本题是求最小值，可以看出需根据不等式求：$≥\frac{16}{9}（2AB•AC-4）$，求$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{16}{9}（A{B}^{2}+A{C}^{2}-4）$，这样即可求出$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}|$的最小值．

解答 解：如图，G是△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
由条件得，AB•CA=4；
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）{|}^{2}$=$\frac{16}{9}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}$=$\frac{16}{9}（A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+A{C}^{2}）$
=$\frac{16}{9}（A{B}^{2}+A{C}^{2}-4）$$≥\frac{16}{9}（2AB•AC-4）=\frac{16}{9}×4$，当AB=AC时取“=”；
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}|≥\frac{8}{3}$；
即$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}|$的最小值为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 考查三角形重心的概念及性质，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的加法和数乘运算，在直接求向量长度的最值不好求时，可以考虑求向量平方的最小值，以及不等式：a²+b²≥2ab的运用．