Question

3．已知函数f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
（1）画出函数f（x）的图象，并写出其单调区间；
（2）当x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求函数y=f（x）的值域；
（3）是否存在实数a，b（0＜a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[$\frac{a}{6}$，$\frac{b}{6}$]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）去绝对值号得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-1}&{0＜x≤1}\\{-\frac{1}{x}+1}&{x＜0，或x＞1}\end{array}\right.$，根据反比例函数$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$的图象即可画出该函数的图象，从而根据图象即可得出f（x）的单调区间；
（2）根据图象即知f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值为0，再比较端点值便可求出其最大值，从而得出值域；
（3）分0＜b≤1，0＜a＜1＜b，和a≥1这三种情况，根据f（x）的单调性及取得最小值0的情况求出每种情况下的f（x）在[a，b]的值域，根据f（x）的值域为$[\frac{a}{6}，\frac{b}{6}]$，便可求出a，b，并判断求得的a，b是否符合条件．

解答 解：（1）$f（x）=|\frac{1}{x}-1|=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-1}&{0＜x≤1}\\{-\frac{1}{x}+1}&{x＜0，或x＞1}\end{array}\right.$，f（x）的图象可以由反比例函数的图象平移得到，图象如下：
由图象可以看出f（x）的单调增区间为：（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为：（0，1]；
（2）由图象可以看出x$∈[\frac{1}{2}，2]$时，最小值为f（1）=0，$f（\frac{1}{2}）=1，f（2）=\frac{1}{2}$；
∴f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]上的值域为[0，1]；
（3）①若0＜b≤1，$f（x）=\frac{1}{x}-1$，则f（x）在[a，b]上单调递减；
∴f（x）∈[f（b），f（a）]=$[\frac{1}{b}-1，\frac{1}{a}-1]$；
又f（x）在[a，b]上的值域为$[\frac{a}{6}，\frac{b}{6}]$；
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b}-1=\frac{a}{6}}\\{\frac{1}{a}-1=\frac{b}{6}}\end{array}\right.$；
解得b=0，与b＞0矛盾，∴这种情况不存在；
②若0＜a＜1＜b，则：
f（x）在[a，b]上的最小值为0；
∴$\frac{a}{6}=0$，a=0与a＞0矛盾，∴这种情况不存在；
③若a≥1，则f（x）在[a，b]上单调递增；
∴$f（x）∈[f（a），f（b）]=[-\frac{1}{a}+1，-\frac{1}{b}+1]$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}+1=\frac{a}{6}}\\{-\frac{1}{b}+1=\frac{b}{6}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$（舍去）；
∴存在实数a，b（0＜a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域为$[\frac{a}{6}，\frac{b}{6}]$，此时a=2，b=3．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，反比例函数的图象，图象的平移，以及根据图象写出函数的单调区间，根据图象求函数的值域，根据单调性定义求函数的值域．