Question

8．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=1，则x²+y²的最小值为8．

Answer 1

分析 由题意可得x，y为正数且x+y=xy，同除以xy可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=1；由基本不等式可得x+y≥4，可得x²+y²=[（x+y）-1]²-1，由二次函数的最值可得．

解答 解：∵log₂（x+y）=log₂x+log₂y，
∴x，y为正数且x+y=xy，
同除以xy可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=1，
由基本不等式可得x+y=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²，
∴（x+y）²≥4（x+y），∴x+y≥4，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=（x+y）²-2（x+y）
=[（x+y）-1]²-1≥（4-1）²-1=8
故答案为：1；8

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算，属基础题．